1-cosx等价无穷小是sinx的平方吗？

1-√cosx的等价无穷小：x^2/4。

分析过程如下：

利用cosx=1－x^2/2+o(x^2) (1)以及

(1+x)^(1/2)＝1+x/2+o(x) (2)得：

1－√cosx

＝1－（1+cosx－1)^(1/2)恒等变形

＝1－（1+(cosx－1)/2)+o(cosx－1)利用（2)式。

＝（1－cosx)/2+o(x^2)利用（1)式。

＝x^2/4+o(x^2)

极限的由来

与一切科学的思想方法一样，极限思想也是社会实践的大脑抽象思维的产物。极限的思想可以追溯到古代，例如，祖国刘徽的割圆术就是建立在直观图形研究的基础上的一种原始的可靠的“不断靠近”的极限思想的应用。

古希腊人的穷竭法也蕴含了极限思想，但由于希腊人“对’无限‘的恐惧”，他们避免明显地人为“取极限”，而是借助于间接证法——归谬法来完成了有关的证明。

到了16世纪，荷兰数学家斯泰文在考察三角形重心的过程中，改进了古希腊人的穷竭法，他借助几何直观，大胆地运用极限思想思考问题，放弃了归缪法的证明。如此，他就在无意中“指出了把极限方法发展成为一个实用概念的方向”。

具体回答如下： 根据： cosx=1－x^2/2+o(x^2) (1+x)^(1/2)＝1+x/2+o(x) 可计算： 1－√cosx ＝1－（1+cosx－1)^(1/2) ＝1－（1+(cosx－1)/2)+o(cosx－1) ＝（1－cosx)/2+o(x^2) ＝x^2/4+o(x^2) 等价无穷小的意义： 在同一自变量的趋向过程中，若两个无穷小之比的极限为1，则称这两个无穷小是等价的。无穷小等价关系刻画的是两个无穷小趋向于零的速度是相等的。

被代换的量，在取极限的时候极限值为0；被代换的量，作为被乘或者被除的元素时可以用等价无穷小代换，但是作为加减的元素时就不可以。

与三角代数式1-cosx(当x→0)时的等价无穷小的量不是sinx的平方。根据三角函数的余弦降幂公式l-cosx应该等于2sin^2(ⅹ/2)。而根据微分学中的两个重要的极限lim(x→O)sinx/x=1，我们知道当x→o时sinx等价于x，因此当x→O时2sin^2(x/2)的等价无穷小量为2?(x/2)^2=x^2/2。

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