数学悖论 数学的贝克莱悖论如何解决的
- 2023-05-01 15:44:25
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数学的贝克莱悖论如何解决的
笼统地说，贝克莱悖论可以表述为“无穷小量究竟是否为0”的问题：就无穷小量在当时实际应用而言，它必须既是0，又不是0。但从形式逻辑而言，这无疑是一个矛盾。在微积分当中，无穷小量是在讨论数列、函数的极限、导数等最为基础的概念必不可少的概念。为了避免或者消解悖论，无穷小量并不是一个确定的数值，而是一串无限运算而趋近的量。它永远不可能等于零，但却无限趋向于零。简单来说，就是无穷小的极限就是零。这是贝克莱悖论的由来：1734年，大主教乔治?贝克莱(GeorgeBerkeley)“渺小的哲学家”之名出版了一本标题很长的书《分析学家；或一篇致一位不信神数学家的论文，其中审查一下近代分析学的对象、原则及论断是不是比宗教的神秘、信仰的要点有更清晰的表达，或更明显的推理》。在这本书中，贝克莱对牛顿的理论进行了攻击。例如他指责牛顿，为计算比如说x2的导数，先将x取一个不为0的增量Δx，由(x+Δx)2?x2，得到2xΔx+(Δx2)，后再被Δx除，得到2x+Δx，最后突然令Δx=0，求得导数为2x。这是“依靠双重错误得到了不科学却正确的结果”。因为无穷小量在牛顿的理论中一会儿说是零，一会儿又说不是零。因此，贝克莱嘲笑无穷小量是“已死量的幽灵”。贝克莱的攻击虽说出自维护神学的目的，但却真正抓住了牛顿理论中的缺陷，是切中要害的。数学史上把贝克莱的问题称之为“贝克莱悖论”。
1=0.9999999是数学悖论吗
是的。
数学和现实可以没有任何关系，它的关键是定义。不同的定义，可以让他相等，也可以让他不相等。
如果你停留在有理数(即分数)的定义，认定0.9999......是有理数，那么0.9999......转化为分数就是1/1，无疑是1。
如果你停留在实数的定义，认定0.9999......是实数，那么0.9999......和1之间不存在其他实数，而且无论是转化为序列表示还是戴德金分割，都是等价的，因此也相等。
什么是数学悖论
数学悖论是有关数学的悖论，主要发生在数学研究中。按照广义的悖论定义，所有数学规范中发生的无法解决的矛盾，这种矛盾可以在新的数学规范中得到解决。
广义的悖论是一种认识矛盾，它既包括逻辑矛盾、语义矛盾，也包括思想方法上的矛盾。
数学中的“理发师”问题到底是怎么回事
关于理发师悖论，主流的解释是：不存在「既只为不给自己刮胡子的人刮胡子，又坚守自己的诺言」这样的人。但这个解答，在我看来是错误的，或者起码是不到位的。《韩非子》里有这样一个故事：楚人有鬻盾与矛者，誉之曰：“吾盾之坚，物莫能陷也。”
又誉其矛曰：“吾矛之利，于物无不陷也。”或曰：“以子之矛陷于之盾，何如？”
其人弗能应也。对于这个故事，我们都很清楚地知道，之所以会出现矛盾，是因为这位楚人过分夸大他的予与盾。关于该予是否能刺穿该盾，这位楚人给出了自相矛盾的说法。因此，对于该予是否能刺穿该盾，这位楚人并没有给出定义。而对于该矛是否能刺穿其他盾，不管对与错，这位楚人给出了确定的答案。我们读完这个故事，并不会认为，楚人的矛与盾不能存在。或者认为，这位（卖这样的矛与盾的）楚人不能存在，或者更荒唐地认为，《韩非子》这本书并不存在。其实，逻辑矛盾说明的是，书中的楚人对于矛与盾给出的说明是矛盾的。然而，到了近代，又有了一个类似的悖论，我们却给出了奇怪的答案。
这就是著名的“理发师悖论”，在一个村子里有一位理发师，这位理发师声称：“给而且只给那些不给自己理发的人理发”。现在问理发师是否要给自己理发。如果理发师不给自己理发，那么根据定义，他要给自己理发；如果理发师给自己理发，那么根据定义，他不能给自己理发。
蒯因在其《悖论的方式》(1961)给出的解悖方案，后来成为主流认同的方案。
蒯因认为，这个矛盾表明村里没有这样一位理发师。然而奇怪的是，有没有这样一位理发师，显然是一个经验问题。
通过这样的逻辑推理与概念分析，居然可以证明或者否证一个经验问题。
这是十分奇怪的事情。
蒯因自己也觉得奇怪，但是他更相信概念分析的能力。然而，概念分析的能力真的这么强大吗，强大到可以帮助我们证明或者否证经验命题吗？
我们想要探讨的是，逻辑推理与概念分析的能力界限在哪里，逻辑矛盾可以告诉我们什么。
反证法是借助矛盾的论证方法，首先假设前提成立，然后进行逻辑推理与概念分析，进而得到逻辑矛盾，由此证明前提不成立。
然而在这个证明过程中，我们需要思考的是，逻辑矛盾是来自整个推理链条，并不是仅仅来自于前提。
在这个推理链条之中，隐藏着潜在的前提与潜在的规则。
错误的位置究竟在哪里，需要我们对于整个推理链条的仔细观察与反复推敲。
我们先来看一个错误使用反证法的例子。
村子里有一位理发师，他声称：“他给自己理发当且仅当他不给自己理发”，由此可以得出这样一位理发师不存在。论证过程如下：假设村子里有如此一位理发师。如果他要给自己理发，根据他的规则，他不给自己理发。如果他不给自己理发，根据他的规则，他要给自己理发。矛盾。因此假设不成立，如此一位理发师不存在。
这个论证过程是错误的，因为矛盾并不是来源于理发师存在这个前提。其实，规则对于“理发师要不要给自己理发”没有定义，只是给出了一个矛盾式。如果认为存在定义，就会产生矛盾。
这才是矛盾的根源。所以，矛盾说明的是理发师并没有为“是否给自己理发”给出规则。
再来看蒯因的论证过程：假设村子里有如此一位理发师。如果他要给自己理发，根据他的规则，他不给自己理发。如果他不给自己理发，根据他的规则，他要给自己理发。矛盾。因此假设不成立，如此一位理发师不存在。这个论证过程同样是错误的，因为矛盾并不是来源于理发师存在这个前提。其实，规则对于“理发师要不要给自己理发”没有定义，只是给出了一个矛盾式。如果认为存在定义，就会产生矛盾。这才是矛盾的根源。所以，矛盾说明的是理发师并没有为“是否给自己理发”给出规则。上世纪的罗素悖论等一系列悖论，引起了对于数学基础的普遍怀疑，这就是第三次数学危机。似乎清楚简单地推理，却推导出了矛盾。“是不是整个数学都出现了问题？”，这是当时数学家普遍的担心。维特根斯坦评论道：这是一种“出于迷信的恐惧”。事实上，矛盾来自于推理链条，矛盾也只涉及推理链条所过之处。这并不是整体的问题，而只是局部的问题。所以，矛盾并不可怕。矛盾说明的是，我们对于一些概念和规则的使用存在一些模糊和矛盾之处。我们所要做的事情就是，看清楚这些概念和规则的错误使用，重新规定这些概念和规则的使用方法。以下棋为例，维特根斯坦说道：“可以设想游戏中的例子，一个规则是说：在某种条件下，相关的棋子必定被吃掉。而另一个规则则是说：在这种情况下，不能吃马。如果相关的棋子恰恰就是马，规则就发生了矛盾；我不知道我该做什么。在那种情况下，我们做什么呢？很简单：我将引入新的规则，以此来解决冲突。”，他又说：“我认为，如果数学的游戏规则出现了矛盾，那么补救措施就像是一件世界上最简单的事情：我们只需要对使规则陷入冲突的那种情况进行重新规定，事情就算了结。”举个例子，就像一开始根据乘法来定义除法a/b=ciffa=b*c，就会得出0/0=2=3这样的矛盾。怎么解决这里的矛盾呢？难道要取消所有的乘法？当然不是了，只需要在这个地方重新定义一下：0不能作除数。问题就解决了。所以，对于悖论的解决，并不需要触动整个数学基础，而只是就悖论发生之处重新制定一些规则。类似的问题，也是类似地处理，比如对角线方法。参考文献：1、庄朝晖，基于对角线引理和维特根斯坦思想对于悖论的分析，第六届全国分析哲学学术研讨会，山西大学，中国，2010年8月（入选《中国分析哲学2010》，中国现代外国哲学学会分析哲学专业委员会编，浙江大学出版社，2011年10月，67页-76页）2、庄朝晖，关于对角线方法和停机问题的评论，第五届两岸逻辑教学与研究学术会议，重庆西南大学，2012年4月.
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